คณิต มัลไลเซชันจำเป็นต้องนำเสนอข้อความ ที่มีความหมายของ คณิตศาสตร์ ด้วยความช่วยเหลือของสูตร และการพิสูจน์ควรลดการเปลี่ยนแปลงของสูตรเริ่มต้น สัจพจน์เป็นสูตรอื่น ทฤษฎีบทตามกฎที่ระบุอย่างแม่นยำ การจัดรูปแบบแบบนี้ไม่ต้องการให้ฮิลเบิร์ตลดคณิตศาสตร์ให้เป็นตรรกะ เช่นเดียวกับในกรณีของลอจิก แต่ประกอบด้วยการใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะ เพื่อเขียนข้อความทางคณิตศาสตร์ ขั้นตอนที่ 2 เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ความสอดคล้อง
ระบบคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ ที่ได้รับในขั้นตอนแรก เนื่องจากเป้าหมายหลักของโปรแกรมทั้งหมดของฮิลเบิร์ต คือการสร้างความสอดคล้องของทฤษฎี โดยทำให้ข้อสรุปเชิงตรรกะเป็นแบบแผน จึงจำเป็นต้องมีทฤษฎีที่เหมาะสมในการวิเคราะห์ข้อพิสูจน์ ที่ใช้ในวิชา คณิต ทฤษฎีดังกล่าวในฮิลเบิร์ตเป็นทฤษฎี ที่เป็นทางการในทฤษฎีการพิสูจน์อย่างเป็นระบบ ซึ่งมีพื้นฐานมาจากแนวคิดเรื่องการทำให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด เป็นแบบแผนอย่างเคร่งครัด
เขาเรียกทฤษฎีนี้ว่าอภิคณิตศาสตร์ โดยเน้นคำนี้ว่าในอภิปรัชญา หัวข้อของการศึกษาคือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เอง ซึ่งนำเสนอในรูปแบบที่เป็นทางการ ในการอธิบายทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ที่จัดรูปแบบดังกล่าว จำเป็นต้องใช้อภิภาษาที่เป็นทางการที่เหมาะสม สำหรับการสร้างซึ่งแน่นอนว่าวิธีการ และวิธีการวิเคราะห์ที่เป็นทางการล้วนไม่เหมาะสม สิ่งนี้ต้องใช้วิธีการให้เหตุผลที่มีเนื้อหา และการโน้มน้าวใจและความชัดเจนโดยสัญชาตญาณที่ไม่มีใครสงสัย
ซึ่งหมายความว่าในระดับของเมตาภาษา ฮิลเบิร์ตยอมรับมาตรฐานการให้เหตุผลโดยสัญชาตญาณ ซึ่งมีลักษณะเฉพาะ เป็นความสอดคล้องกันของคณิตศาสตร์อย่างแม่นยำ ซึ่งต้องได้รับการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือ ของวิธีการให้เหตุผลแบบจำกัดที่มีความหมาย ซึ่งต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ พิจารณาเฉพาะวัตถุและหน้าที่จำนวนจำกัด และแน่นอนเท่านั้น การมีอยู่ของวัตถุใดๆ จะไม่ถูกยืนยันโดยไม่ระบุวิธีการก่อสร้าง ตามคำกล่าวของฮิลเบิร์ต
มันคือเมตาเทเมติกส์อย่างแม่นยำ โดยอาศัยวิธีการให้เหตุผลอย่างจำกัด ซึ่งทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์คลาสสิกทั้งหมด การอนุรักษ์ซึ่งควรทำหน้าที่เป็นการทำให้เป็นทางการ และการพิสูจน์ความสม่ำเสมอ นอกจากนี้ ฮิลเบิร์ตหวังว่าจะให้เหตุผลขั้นสุดท้าย สำหรับคณิตศาสตร์คลาสสิกทั้งหมด ด้วยการจัดรูปแบบและวิธีการที่จำกัด อย่างไรก็ตาม อย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่า ความหวังนี้ไม่สมเหตุสมผล แต่กลับกลายเป็นเรื่องลวง
ความน่าเชื่อถือของโปรแกรมของฮิลเบิร์ต ถูกทำลายโดยนักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย เคิร์ต โกเดลในปี 1906 ถึง 1978 ด้วยทฤษฎีบทที่เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน ประการแรก ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ ระบุว่าหากระบบที่เป็นทางการที่มีเลขคณิตสอดคล้องกัน แสดงว่าไม่สมบูรณ์ เช่น ว่ามีข้อความจริงซึ่งกำหนดไว้ในเงื่อนไขดั้งเดิม ซึ่งพิสูจน์ไม่ได้และหักล้างไม่ได้ในระบบนี้ ทฤษฎีบทที่ 2 ทฤษฎีบทความสอดคล้องระบุว่าหากเลขคณิต
ระบบที่มีความสอดคล้องกัน การพิสูจน์ความสอดคล้องนี้ไม่สามารถทำได้ ในภาษาเมตาที่ยอมรับการแสดงในรูปแบบเลขคณิต ผลที่ตามมาทันทีของทฤษฎีบทเหล่านี้คือ ความล้มเหลวไม่เพียงแต่ความเป็นทางการเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตรรกะด้วย ความเป็นไปไม่ได้ที่จะบรรลุถึงแผนของฮิลเบิร์ต ซึ่งก็คือการแก้ปัญหาความสม่ำเสมอในขอบเขตของภาษาเมตา ที่มีตรรกะที่จำกัดมากกว่าที่มีอยู่ในภาษานั้นเอง เป็นเพียงการระบุโดยทฤษฎีบทที่ 2 ความเป็นไปไม่ได้พื้นฐานของงาน
ซึ่งกำหนดโดยเฟรจและรัสเซล เพื่อลดคณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นตรรกะตามทฤษฎีบทแรก อันที่จริง ทฤษฎีบทของโกเดลได้หักล้างหลักฐานพื้นฐาน ของทั้งตรรกะและรูปแบบนิยม ซึ่งตามคำกล่าวที่ยุติธรรมของโคซโลวา กล่าวว่าสำหรับแต่ละสาขาวิชาคณิตศาสตร์ สามารถระบุชุดสัจพจน์ที่เพียงพอเพื่อให้ได้มา ซึ่งบทบัญญัติอื่นๆทั้งหมดได้ โกเดลพิสูจน์ด้วยความมั่นใจว่า ว่าวิธีสัจพจน์มีความขัดแย้งภายใน จากมุมมองทางปรัชญา ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของโกเดล
สันนิษฐานว่าเป็นไปไม่ได้ขั้นพื้นฐาน ของการทำให้เป็นทางการอย่างสมบูรณ์ ของส่วนที่สำคัญของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ แนวโน้มที่สามในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์สัญชาตญาณ ก็ไม่ประสบความสำเร็จ ต้นกำเนิดของมันคือนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ พอยคาเร่ในปี 1854 ถึง 1912 ผู้ซึ่งโดดเด่นในหมู่นักคณิตศาสตร์ 2 ประเภทที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง ของการคิดทางคณิตศาสตร์ ตรรกะและสัญชาตญาณ ถ้าเครื่องมือหลักของอันแรกคือเครื่องพิสูจน์
อันที่ 2 ก็คือการประดิษฐ์ อย่างไรก็ตาม ตามพอยคาเร่ ศาสตร์แห่งการพิสูจน์ยังไม่เป็นวิทยาศาสตร์ทั้งหมด สำหรับตรรกะเนื่องจากศูนย์รวมของความคิดวิเคราะห์ ที่แบ่งทุกอย่างออกเป็นส่วนๆ ไม่สามารถควบคุมความเป็นจริงได้อย่างเต็มที่ สิ่งที่สร้างความสามัคคี ของการพิสูจน์หลีกเลี่ยงมัน หลังสามารถเข้าใจได้ด้วยสัญชาตญาณเท่านั้น นอกจากนี้ สัญชาตญาณยังช่วยให้คุณเห็นเป้าหมายจากระยะไกล สังเกตความคิดที่ซ่อนอยู่ผ่านมัน
พวกเขาสังเกตเห็นแผนทั่วไป ของการสร้างตรรกะทันที และในความหมายนี้ สัญชาตญาณตามพอยคาเร่ จะต้องรักษาบทบาทของตนไว้เป็นส่วนเสริม การถ่วงดุลหรือเป็นยาแก้พิษต่อตรรกะ แต่สัญชาตญาณมีความสำคัญต่อวิทยาศาสตร์ ไม่เพียงแต่เพื่อการนี้เท่านั้น นอกจากนี้ ยังสามารถใช้เป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ เนื่องจากตรรกะไม่ได้ทำให้พื้นที่ทั้งหมด ของหลักฐานหมดลง ตามพอยคาเร่ในความเป็นจริง การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงนั้น ขึ้นอยู่กับการเหนี่ยวนำที่แม่นยำยิ่งขึ้นสัญชาตญาณอุปนัย เมื่อพิจารณาในระนาบนี้ ความพยายามทั้งหมดของนักตรรกะ ในการลดการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ สู่ตรรกะกลับกลายเป็นว่าไร้ประโยชน์
บทความที่น่าสนใจ : ผิว การทำความเข้าใจเกี่ยวกับกฎและข้อผิดพลาดของการดูแล ผิว
